1平衡点附近的二次近似
闭卷重建平衡点附近的二次近似的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2广义本征值问题
闭卷重建广义本征值问题的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3正则坐标与解耦
闭卷重建正则坐标与解耦的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4拍频与能量交换
闭卷重建拍频与能量交换的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5连续系统的模态入口
闭卷重建连续系统的模态入口的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：二自由度正则模
闭卷重建实验：二自由度正则模的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7阻尼与受迫振动的模态边界
闭卷重建阻尼与受迫振动的模态边界的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：试解 η=a e^{iωt} 得 (K-ω²M)a=0；正定 M 下本征频率实且模态可按 M 内积正交；算例/实验：求两个耦合振子的 ω± 和振幅比，检查无耦合极限；反例：普通欧氏正交不一定成立，应使用 a_i^T M a_j。
核心：在稳定平衡 q0 附近令 η=q-q0，T≈ηdot^T M ηdot/2，V≈V0+η^T Kη/2；算例/实验：对双摆小角展开到二阶，辨认质量矩阵 M 和刚度矩阵 K；反例：必须在平衡点展开；保留线性项说明所选点并非平衡。
核心：近频率模态叠加产生快振荡载波和慢包络，耦合振子中表现为能量周期转移；算例/实验：从 cosω1t+cosω2t 的和差化积读出拍频，并追踪两个摆能量；反例：拍频不是阻尼衰减；有限观测窗可能把慢包络误判为耗散。
核心：将 M-正交归一的模态列成矩阵 A，令 η=AQ，可把二次 L 化为独立谐振子之和；算例/实验：逐项验证 A^TMA=I、A^TKA=diag(ω²)；反例：重根对应简并子空间，模态基不唯一但物理子空间唯一。
核心：不用第三方库，解 2×2 det(K-ω²M)=0 并输出排序后的频率；算例/实验：对称、非等质量、退耦与临界软模四组输入逐一核验；反例：若 M 非正定或判别式为负，输入不代表普通稳定机械系统。
核心：弦、膜和弹性体把矩阵本征问题推广为 Sturm–Liouville 型边值问题，边界条件决定允许频谱；算例/实验：由弦的动能势能泛函导出波动方程和固定端正弦模态；反例：连续谱与离散谱取决于区域和边界；不能机械套有限维求和。
核心：比例阻尼可保持模态解耦，一般阻尼矩阵会耦合模态；受迫响应由频率响应矩阵决定；算例/实验：比较 C=αM+βK 与非比例 C 的变换结果，找共振峰和相位跨越；反例：无阻尼共振发散是理想模型结论，现实稳态由阻尼和非线性限制。