1泛函不是普通函数
闭卷重建泛函不是普通函数的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2第一变分与分部积分
闭卷重建第一变分与分部积分的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3最短线与测地线
闭卷重建最短线与测地线的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4Hamilton 原理
闭卷重建Hamilton 原理的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5自然边界与横截条件
闭卷重建自然边界与横截条件的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：离散作用量
闭卷重建实验：离散作用量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7第二变分与稳定性入口
闭卷重建第二变分与稳定性入口的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：δJ=∫(F_y η+F_{y'}η')dx，分部积分后端点项因 η(a)=η(b)=0 消失，内部系数必须为零；算例/实验：逐行推导 Euler–Lagrange 方程并说明基本引理如何把积分等式变成点态方程；反例：固定端点是推导的一部分；自由端点会留下自然边界条件。
核心：泛函 J[y]=∫F(x,y,y')dx 把整条曲线映成数；变分比较满足端点条件的一族邻近曲线 y+εη；算例/实验：给两条同端点曲线计算弧长与作用量，区分改变自变量数值和改变整条路径；反例：δy 是路径空间方向，不是时间微分 dy；两种小量不可混用。
核心：真实路径在固定时空端点下使作用量 S[q]=∫L(q,qdot,t)dt 一阶驻值，L=T-V 时等价于保守系统运动方程；算例/实验：对一维谐振子从 δS=0 推出 m qddot+kq=0，并把边界项写全；反例：作用量驻值不是每个时刻 L 最小，也不允许任意改变端点。
核心：弧长泛函的驻值曲线满足测地线方程；在平面上导出直线，在曲面上由度量决定联络项；算例/实验：对平面 y(x) 的长度泛函利用不显含 x 的 Beltrami 恒等式求解；反例：驻值不自动保证最小；还需检查第二变分或全局几何。
核心：将路径离散成节点，用中点速度和势近似作用量，扰动内部节点寻找驻值并监测端点固定；算例/实验：实现谐振子离散作用量及坐标下降，对不同网格数比较轨道误差；反例：离散驻值依赖步长和离散方案；数值极小不能替代连续变分证明。
核心：端点部分自由时，分部积分产生的共轭动量边界项必须与端点允许变化相容；算例/实验：推导一端自由的弹性线自然边界条件，并解释其力学含义；反例：先验固定端点与物理自由端点给出不同边界条件，不能混算。
核心：第一变分为零只说明驻值；第二变分的二次型正定性区分局部极小、极大与鞍点；算例/实验：对自由粒子直线路径计算二阶变分 ∫m(ηdot)^2dt 并判断正定；反例：存在共轭点时局部极小性质会失效，不能只看一条试探扰动。