1Hamilton 主函数
闭卷重建Hamilton 主函数的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
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第 1 页 · 正面（题目）
2定态 Hamilton–Jacobi 方程
闭卷重建定态 Hamilton–Jacobi 方程的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3可分离系统
闭卷重建可分离系统的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4作用量变量
闭卷重建作用量变量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5绝热不变量
闭卷重建绝热不变量的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：HJ 特征函数数值积分
闭卷重建实验：HJ 特征函数数值积分的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7从经典作用量到半经典入口
闭卷重建从经典作用量到半经典入口的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：H 不显含时可令 S=W(q,α)-Et，得到 H(q,∂W/∂q)=E；W 是特征函数；算例/实验：对一维势写 W=∫sqrt(2m(E-V))dq，并说明转向点；反例：根号分支与经典允许区必须处理，转向点处简单坐标表达会奇异。
核心：若生成函数 S(q,α,t) 把新 Hamiltonian 化为零，则满足 H(q,∂S/∂q,t)+∂S/∂t=0；算例/实验：验证自由粒子 S=px-p²t/(2m) 并由 ∂S/∂p 得直线轨道；反例：HJ 是一阶非线性 PDE；找到一个特解未必构成含足够常数的完全积分。
核心：周期系统的作用量 J=(1/2π)∮p dq 为绝热不变量候选，新 Hamiltonian 仅依赖 J，角变量匀速增长；算例/实验：计算谐振子 J=E/ω，并由 Ω=∂H/∂J 恢复频率；反例：积分回路必须取闭合经典轨道；非束缚运动不能直接套同一公式。
核心：若坐标使 HJ 方程可加分离 W=ΣW_i(q_i)，分离常数给出新的守恒量；算例/实验：在球坐标中心势中分离 r、θ、φ，识别能量和角动量常数；反例：坐标可分性是系统结构，不是任何势都可通过猜测获得。
核心：对给定一维势和能量在经典允许区数值积分 W(q)=∫p dq，并比较网格收敛；算例/实验：实现复合梯形法，对自由粒子、常力与谐振子允许区测试；反例：靠近转向点的平方根需要细化或变量代换；越过禁区会进入复值。
核心：参数缓慢变化时 J 在每周期相对改变量的一阶平均近似为零，能量随参数调整；算例/实验：推导缓慢变频谐振子 E/ω 近似守恒并设计数值检验；反例：慢必须相对于内部周期量化；经过 separatrix 时绝热不变量可能跳变。
核心：HJ 的 S 同时控制短波相位，Bohr–Sommerfeld 条件 ∮p dq≈(n+μ/4)h 是经典—量子桥梁；算例/实验：对谐振子用作用量量子化恢复等间隔能级及 Maslov 修正；反例：半经典条件不是精确量子公理，在低量子数和隧穿问题需额外修正。