1为什么牛顿坐标会变笨
闭卷重建为什么牛顿坐标会变笨的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
分析力学 · 小纸条
选一章打印。双面打印（按长边翻页）后沿虚线剪开，每张卡片正面题目、背面答案。
第 1 页 · 正面（题目）
2完整约束与非完整约束
闭卷重建完整约束与非完整约束的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
3广义坐标不是普通坐标改名
闭卷重建广义坐标不是普通坐标改名的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
4约束 Jacobian 与独立性
闭卷重建约束 Jacobian 与独立性的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
5可动约束与流变约束
闭卷重建可动约束与流变约束的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
6实验：约束秩与自由度
闭卷重建实验：约束秩与自由度的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
7坐标图、奇点与覆盖
闭卷重建坐标图、奇点与覆盖的专属定义、三行推导、数值算例、算法与反例。
第 1 页 · 背面（答案）
核心：完整约束可写 f_a(q,t)=0；速度约束 A_a(q,t)·qdot+a_a=0 未必能积分成位形约束；算例/实验：检验滚轮无滑动、刀刃约束与摆长固定三个例子，尝试寻找积分因子；反例：线性速度约束不自动等于完整约束；必须检查可积性而非凭外观判断。
核心：N 个质点的 3N 个笛卡尔坐标若受 k 个独立完整约束，局部自由度为 n=3N-k；广义坐标只保留真正可独立变化的方向；算例/实验：比较平面单摆用(x,y)加约束与直接用角度θ两种写法，逐项核对自由度、初值和方程数；反例：自由度计数依赖约束独立性；奇异构型处约束 Jacobian 的秩可能下降。
核心：约束梯度组成矩阵 C=∂f/∂x；正则点的秩给出独立约束数，允许速度满足 C xdot+∂f/∂t=0；算例/实验：为球面与平面交线计算 Jacobian，在退化参数下观察秩变化；反例：约束方程条数不等于独立约束数，重复方程会导致乘子不唯一。
核心：位形映射 r_i=r_i(q,t) 的切向量 ∂r_i/∂q_j 张成允许位移的切空间，速度还含显含时项 ∂r_i/∂t；算例/实验：对运动支点单摆写 r(θ,t)，分开计算 θdot 项和支点速度项；反例：含时坐标变换会改变动能中的线性项，不能沿用静止参考系公式。
核心：用消元或矩阵秩在给定点判断独立约束，再由 n=3N-rank(C) 得自由度；算例/实验：编写纯 Python 高斯消元，对正常、重复、退化和无约束四组矩阵实测；反例：数值秩依赖容差；接近奇异时必须报告尺度与阈值。
核心：固定约束不显含时间，可动约束显含时间；二者都可完整，但能量守恒条件不同；算例/实验：推导匀速转动圆环上小珠的位形映射和动能，找出驱动源做功；反例：L 不显含时间才给 Hamilton 能量守恒；约束可动时机械能常由外部驱动交换。
核心：一套广义坐标通常只覆盖位形流形的一张坐标图，球坐标极点与 Euler 角章动角为零处会奇异；算例/实验：比较球面上的经纬坐标与局部笛卡尔投影，指出极点处失去哪个切向方向；反例：坐标奇异不等于物理奇异；换图后有限的量不能被宣称发散。