锐角三角函数：把角度变成数字

坡度怎么精确描述

滑梯陡不陡，光看说不准，工程师用「升高 ÷ 水平距离」——坡比。三角函数就是给直角三角形里的边长之比起名字：锐角 A 一定，不管三角形画多大，对边÷斜边恒定，叫正弦 sin A；邻边÷斜边叫余弦 cos A；对边÷邻边叫正切 tan A。角定则形定、比例定——这正是相似三角形的直接推论。

三个必背的特殊角

• 30°：sin = 1/2，cos = √3/2，tan = √3/3
• 45°：sin = cos = √2/2，tan = 1
• 60°：sin = √3/2，cos = 1/2，tan = √3

记住 30° 那一行就够：60° 与它正弦余弦互换；45° 来自边长 1-1-√2 的等腰直角三角形。

测量不可到达的高度

想知道教学楼多高，不必爬上去：退到 20 米外，测得楼顶仰角约 30°，则楼高 h 满足 tan 30° = h/20，h = 20×√3/3 ≈ 11.5 米（别忘了加上眼睛或仪器的高度）。没有无人机的年代，测绘员就靠一台测角仪加一张三角函数表画出全国地图。今天的 GPS、桥梁设计、3D 游戏引擎，底层都是 sin 和 cos。

和函数的关系

sin、cos 是「角的函数」：给一个角度，出一个比值。以后还会看到它们的图象是连绵起伏的波浪线——声音、交流电、潮汐，全世界的周期现象都用它描述。

常见误区：把 sin 30° 当成「sin × 30°」去拆算。sin A 是一个整体记号，角度与比值绑死，不能拆。

练一练：梯子长 4 米，与地面成 60° 角，顶端离地面多高？（用 sin 60°）