二次函数：抛物线上的最值

从直线到抛物线

一次函数的图象是直线，二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 的图象是抛物线——投篮的篮球、喷泉的水柱、卫星天线的剖面，全是它。抛体走抛物线，是因为水平方向匀速、竖直方向被重力匀加速，两方向合成正好是 x 与 x² 的混合。

三要素：开口、顶点、对称轴

a 的正负决定开口朝上还是朝下，|a| 决定胖瘦。配方写成顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$，顶点 (h, k) 一目了然：a > 0 时它是最低点，a < 0 时是最高点。过顶点的竖直线 x = h 是对称轴，抛物线沿它对折完全重合。

最值：二次函数的看家本领

卖笔：定价 10 元能卖 100 支，每涨 1 元少卖 5 支，定价多少收入最高？设涨 x 元，收入 y = (10+x)(100−5x) = −5x²+50x+1000。这是开口朝下的抛物线，顶点在 x = 5，所以定价 15 元收入最高，为 1125 元。「最大收入」「最大面积」「最低成本」——凡是求最值，先想二次函数。

与方程的会师

抛物线 y = x²−5x+6 与 x 轴的交点，正是方程 x²−5x+6 = 0 的两个根 2 和 3。判别式为负呢？整条抛物线浮在 x 轴上方，根本碰不到——「无实数解」的几何模样，一眼看懂。函数与方程在这里正式握手。

常见误区：以为抛物线两支会拐弯或相交。它是光滑对称的曲线，顶点唯一，两臂各自无限延伸。

练一练：求 y = x²−4x+3 的顶点坐标，并说出它与 x 轴的两个交点。