反比例函数：乘积不变的二人转

乘积恒定，此消彼长

矩形面积固定为 12 平方米，长 x 与宽 y 满足 xy = 12，即 $y=\frac{12}{x}$。长翻倍，宽就减半；长拉到 100，宽缩成 0.12——两个量乘积恒定、此消彼长，这就是反比例关系。一般式 $y=\frac{k}{x}$（k 不为 0），k 就是那份不变的乘积。

图象：两条永不相交的曲线

反比例函数的图象叫双曲线，分两支：k > 0 时分居第一、三象限。它有两大特点：永不过原点（x 不能为 0，分母为 0 没有意义）；无限贴近坐标轴却永不接触——坐标轴是它的渐近线。「无限接近却永不相遇」，这是极限思想第一次直观登场。

反比例在哪里

• 路程固定，速度与时间反比：100 公里，时速 50 开 2 小时，时速 100 开 1 小时
• 杠杆：动力×动力臂 = 阻力×阻力臂，阻力固定时动力与动力臂反比——撬棍越长越省力
• 压力固定，压强与受力面积反比：滑雪板加宽，压强变小，人不下陷

几何不变量

双曲线上任取一点，向两条坐标轴作垂线，围成的矩形面积恒等于 |k|。这是最常考的几何性质，本质上就是 xy = k 换了件图形外衣。

常见误区：笼统说「y 随 x 增大而减小」。必须限定在同一支上：跨两支看，x 从 −1 变到 1，y 从 −12 跳到 12，反而变大了。

练一练：工地土方量固定，8 台挖掘机 15 天挖完。调来 12 台，几天挖完？先写反比例式再算。