平方根与实数：数轴上的新居民

开方：乘方的逆运算

已知正方形边长 3，面积是 9——这是乘方。反过来：面积是 9，边长是几？这叫开平方，答案是 3，记作 $\sqrt{9}=3$。符号 √ 像一把铲子，把被平方埋起来的数挖出来。注意 9 的平方根其实有 +3 和 −3 两个（因为 (−3)² 也是 9），但 √ 只取正的那个，叫算术平方根。

√2：掀翻古希腊的数

边长为 1 的正方形，对角线多长？它是「平方等于 2 的数」，即 √2。古希腊毕达哥拉斯学派坚信天下所有的数都是整数之比，弟子希帕索斯却证明 √2 写不成任何分数——假设它等于某个最简分数，平方之后能推出分子分母都是偶数，与「最简」矛盾。传说他因此被扔进大海。√2 约等于 1.41421356…，小数无限不循环，这样的数叫无理数。有理数加无理数合成实数，数轴上最后一批空位就此填满。

估算 √2 的土办法

1.4² = 1.96 偏小，1.5² = 2.25 偏大，所以 √2 夹在 1.4 与 1.5 之间；再试 1.41² = 1.9881、1.42² = 2.0164，又夹在中间……如此两头逼近，想多准有多准。计算器用的正是这类「夹逼」思路。

常见误区：写「√4 = ±2」。错，√ 只表示算术平方根，√4 = 2；题目若问「4 的平方根」，答案才是 ±2。

练一练：不查表，判断 √10 在哪两个相邻整数之间，再把范围缩小到小数点后一位。