勾股定理：直角三角形的铁律

三千年前的发现

直角三角形两直角边 a、b，斜边 c，满足 $a^2+b^2=c^2$。中国在《周髀算经》里就有「勾三股四弦五」的记载，早于古希腊的毕达哥拉斯，所以我们称勾股定理。3-4-5 是一组勾股数：9+16 = 25。古埃及人把绳子 12 等分打结，围出 3-4-5 的三角形，就能得到标准直角。

赵爽弦图：无字的证明

把四个全等的直角三角形围进边长为 c 的大正方形，中间空出一个边长 (b−a) 的小正方形。大正方形面积 c²，也等于四个三角形加中间小块：2ab+(b−a)² = a²+b²。两下一对照，c² = a²+b² 成立。这幅弦图登上过 2002 年北京国际数学家大会的会徽，是中国数学的名片。

它有多好用

• 梯子长 5 米、底端离墙 3 米，顶端离地几米？√(25−9) = 4 米
• 向东走 6 公里再向北走 8 公里，直线离家正好 10 公里
• 装修验墙：量出两边 60 厘米、80 厘米，斜边是 100 厘米，墙角就是直角

逆定理：反过来也成立

若三角形三边满足 a²+b² = c²，它必是直角三角形。木工验直角、工地放线，靠的都是逆定理配上 3-4-5。

常见误区：不管哪条边是斜边就套公式。勾股定理只对直角三角形成立，且 c 永远是最长的斜边；钝角三角形里 c² 反而大于 a²+b²。

练一练：直角三角形两直角边为 5 和 12，斜边是多少？（提示：这也是一组勾股数）