一元二次方程：求根公式的诞生

什么时候冒出 x²

问题里一旦出现「面积」，x² 就来了：一块长方形花圃，长比宽多 2 米，面积 15 平方米，宽几米？设宽 x 米，则 x(x+2) = 15，整理得 x²+2x−15 = 0——未知数升到二次，解一元一次方程的老办法不够用了。

方法一：因式分解

上式可拆成 (x+5)(x−3) = 0。乘积为 0，必有一个因式为 0，所以 x = −5 或 x = 3。宽度不能是负数，取 x = 3。验算：3×5 = 15，正确。这叫舍根——方程的解不一定是实际问题的解，必须回题检验。

方法二：配方法与求根公式

拆不动怎么办？配方法把方程改写成「完全平方 = 常数」再开方。把配方法用到一般方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 上，就炼出了求根公式：

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

不管系数多难看，往里一套就出答案。根号里的 $b^2-4ac$ 叫判别式：为正有两个解，为零两解重合，为负则实数范围内无解——负数开不了平方。

一段历史

九世纪的花拉子米系统研究过二次方程，用几何图形配平方；三百年后南宋秦九韶在《数书九章》里已能求高次方程的数值解，思路与今天计算器的逼近算法一脉相承。

常见误区：忘了「±」只写出一个根；或右边不是 0 就硬拆——必须先把所有项移到左边，整理成标准形。

练一练：用求根公式解 x²−5x+6 = 0，并算出判别式的值。