跨章节建模：Delta方法连接导数与方差

真题任务

本课处理 跨章节建模：Delta方法连接导数与方差。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

估计量X在均值μ附近波动较小时，非线性函数g(X)可由一阶Taylor展开近似，进而把高数局部线性化用于概率误差传播。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

g(X)≈g(μ)+g'(μ)(X-μ)，所以Var[g(X)]≈[g'(μ)]²Var(X)。取g(x)=x²、μ=2、Var(X)=0.04，则g'(μ)=4，近似方差为16×0.04=0.64。若波动大或导数为0，需要高阶项。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

g(x)=x²，若μ=3且Var(X)=0.01，用一阶Delta方法估计Var[g(X)]。

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：Delta方法的近似质量依赖局部波动足够小和所需阶导数存在。
• 必须排除：任何非线性变换都严格满足Var[g(X)]=[g'(μ)]²Var(X)。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。