递推数列极限：单调有界与方程验根

真题任务

本课处理 递推数列极限：单调有界与方程验根。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

设 a₁=0，aₙ₊₁=√(2+aₙ)。不能一开始就令极限为 A；必须先证明极限存在。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

由0≤aₙ≤2归纳得上界。又 aₙ₊₁≥aₙ 等价于 2+aₙ≥aₙ²，在[0,2]成立，故数列单调递增且有上界，从而收敛。令极限为A，连续性给 A=√(2+A)，解得A=2或-1；结合A≥0只取2。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

求上述数列 lim(n→∞)aₙ。

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：递推极限方程只能给候选值，存在性和取值范围负责排除伪根。
• 必须排除：只解 A=√(2+A) 就断言极限存在且两个根都可取。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。