极大似然估计：从似然到参数边界

真题任务

本课处理 极大似然估计：从似然到参数边界。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

样本x₁,…,xₙ来自率参数λ的指数分布。极大似然必须写联合密度、取对数、求驻点并检查参数域λ>0。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

L(λ)=λⁿexp(-λΣxᵢ)，ℓ=nlnλ-λΣxᵢ。令ℓ'=n/λ-Σxᵢ=0，得λ̂=n/Σxᵢ=1/样本均值；ℓ''=-n/λ²<0，确为极大值。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

样本为1、2、3、4时，λ的极大似然估计是多少？

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：似然函数把观测样本固定，视为未知参数的函数。
• 必须排除：似然函数是参数的概率密度，因此对参数积分必须等于1。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。