约束极值：乘子方程与边界比较

真题任务

本课处理 约束极值：乘子方程与边界比较。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

在圆 x²+y²=2 上求 xy 的极值。约束集紧致，连续目标必能取得极值；再用乘子法寻找候选点。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

令L=xy-λ(x²+y²-2)。方程 y=2λx、x=2λy。约束排除x=y=0，故4λ²=1。当x=y时xy=1；当x=-y时xy=-1。因此最大值1、最小值-1。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

在 x²+y²=8 上，xy 的最大值是多少？

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：紧致约束保证极值存在，乘子候选仍需逐一比较目标值。
• 必须排除：解出一个λ和一个驻点即可停止，不必比较其余候选点。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。