次序统计量：样本最大值的分布与期望

真题任务

本课处理 次序统计量：样本最大值的分布与期望。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

X₁,…,Xₙ独立同分布于U(0,1)，M=max Xᵢ。最大值不再服从均匀分布，先由事件等价求分布函数。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

0≤m≤1时，P(M≤m)=P(X₁≤m,…,Xₙ≤m)=mⁿ，故密度f_M(m)=nmⁿ⁻¹。E(M)=∫₀¹m·nmⁿ⁻¹dm=n/(n+1)。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

n=4时，样本最大值M的期望是多少？

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：独立性使联合事件概率分解为各边缘概率的乘积。
• 必须排除：样本来自U(0,1)，所以最大值M也服从U(0,1)。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。