二次型参数正定：主子式与特征值双检

真题任务

本课处理 二次型参数正定：主子式与特征值双检。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

二次型Q=x²+2ρxy+y²对应实对称矩阵B=[[1,ρ],[ρ,1]]。参数范围可用顺序主子式或特征值判断。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

顺序主子式为1和1-ρ²，故正定当且仅当|ρ|<1。特征值1+ρ、1-ρ给出同一结论；ρ=±1时半正定而非正定。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

当ρ=0.5时，矩阵B的行列式是多少？

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：实对称矩阵正定等价于全部特征值为正。
• 必须排除：二次型在某一个非零向量处取正值即可证明正定。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。