随机变量函数分布：单调变换法

真题任务

本课处理 随机变量函数分布：单调变换法。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

X服从参数λ=1的指数分布，令Y=2X。既可从分布函数出发，也可用密度变换并带上Jacobian。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

y≥0时F_Y(y)=P(2X≤y)=P(X≤y/2)=1-e^{-y/2}，故f_Y(y)=(1/2)e^{-y/2}。Y仍为指数型，但率参数变为1/2。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

求P(Y≤1)，答案保留至少6位小数。

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：正比例放大会按同样比例放大期望，并按比例平方放大方差。
• 必须排除：作变量替换时密度只需把x换成y/2，不需要Jacobian因子。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。