Taylor 展开处理高阶未定式

真题任务

本课处理 Taylor 展开处理高阶未定式。目标不是背结论，而是能在陌生参数下写出完整推导、筛掉伪解，并用第二种关系验算。

建模与条件

计算高阶极限时先判断需要展开到的最低非零阶，余项阶数必须足以控制商。

开始计算前，先圈出定义域、收敛区间、矩阵维数、独立性或光滑性等条件。真题评分首先看模型是否成立，错误公式即使碰巧得到正确数值也不能形成稳定得分。

逐步推导

eˣ=1+x+x²/2+x³/6+o(x³)。分子 eˣ-1-x-x²/2=x³/6+o(x³)，除以x³后趋于1/6。若只展开到二阶，所有已知项相消，无法得到答案。

推导中每个等号都要有依据：来自定义、定理、初等变换或已验证的极限过程。不能把“求候选值”偷换成“证明结论成立”。

在线计算验收

计算 lim(x→0)[eˣ-1-x-x²/2]/x³。

数值提交前至少做一次反查：代回原式、检查正负与数量级，或用迹/行列式、总概率、边界值进行交叉验证。

证明与边界

• 必须保留：Peano余项 o(x³) 除以 x³ 后趋于0。
• 必须排除：展开到二阶后见分子为0，便把极限写成0。

复盘要求

独立重写关键推导，再完成单选、多选和计算题。若出错，记录第一处失效的条件或等号，而不是只抄正确答案。