三重积分与空间区域的截面法

专题目标

本课处理 三重积分与空间区域的截面法，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

研究第一卦限四面体D={x,y,z≥0,x+y+z≤1}。画出x固定时的yz截面，再按“外层范围—内层截面”写累次积分。

推导主线

体积为∫₀¹∫₀^{1-x}∫₀^{1-x-y}dzdydx=1/6。D的重心为(1/4,1/4,1/4)，故∭D(x+y+z)dV=体积×重心处函数值=(1/6)×3/4=1/8。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

计算∭D(x+y+z)dV，其中D={x,y,z≥0,x+y+z≤1}。

严格边界

• 正确检查：换序后每一层上下限仍须描述同一个空间区域。
• 常见错误：三重积分换序时可以保留原上下限不变。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。