二次型的正交标准化

专题目标

本课处理 二次型的正交标准化，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

Q=2x²+2xy+2y²对应实对称矩阵B=[[2,1],[1,2]]。实对称性保证可以正交对角化，特征值决定标准形与正定性。

推导主线

det(B-λI)=(2-λ)²-1，特征值为1、3。取单位特征向量作正交变换后Q=u²+3v²，因此Q正定；在单位圆上最小值1、最大值3。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

求B=[[2,1],[1,2]]的最小特征值。

严格边界

• 正确检查：实对称矩阵的正交对角化同时保留长度和夹角。
• 常见错误：合同变换与相似变换在任何情况下都具有完全相同的含义。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。