相似对角化与矩阵函数

专题目标

本课处理 相似对角化与矩阵函数，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

A=[[4,1],[0,2]]有两个不同特征值4和2，因此存在两个线性无关特征向量，可相似对角化。计算Aⁿ时优先使用谱结构。

推导主线

特征值为4、2；对应特征向量可取(1,0)和(1,-2)。故tr(Aⁿ)=4ⁿ+2ⁿ。上三角二阶矩阵幂的右上角为(4ⁿ-2ⁿ)/(4-2)。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

求tr(A³)。

严格边界

• 正确检查：n阶矩阵有n个互异特征值时一定可相似对角化。
• 常见错误：可逆矩阵必然可以相似对角化。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。