Fourier级数与端点收敛

专题目标

本课处理 Fourier级数与端点收敛，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

把f(x)=x定义在(-π,π)并作2π周期延拓。先判奇偶性：f为奇函数，故常数项和余弦系数全为0，只计算正弦系数。

推导主线

b_n=(2/π)∫₀^πx sin(nx)dx=2(-1)^{n+1}/n。因此x~2Σ_{n≥1}(-1)^{n+1}sin(nx)/n。间断点处级数收敛到左右极限平均值，而非任取一侧。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

求上述Fourier展开中的b₁。

严格边界

• 正确检查：周期延拓的间断点处按Dirichlet结论收敛到左右极限平均。
• 常见错误：函数在端点取什么值，Fourier级数就必收敛到该值。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。