幂级数求和与逐项运算

专题目标

本课处理 幂级数求和与逐项运算，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

从几何级数Σxⁿ=1/(1-x), |x|<1出发。在收敛区间内部逐项求导，再乘x，可生成含n的级数。端点必须另判。

推导主线

Σ_{n≥1}n xⁿ=x/(1-x)²。再求导组合得到Σn²xⁿ=x(1+x)/(1-x)³。代x=1/2分别得2与6。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

计算Σ(n=1..∞) n/2ⁿ。

严格边界

• 正确检查：幂级数在收敛区间内部可逐项求导且收敛半径不变。
• 常见错误：逐项求导后原收敛区间的两个端点必保持同样敛散性。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。