联合密度、边缘分布与相关性

专题目标

本课处理 联合密度、边缘分布与相关性，要求达到数学一全真卷的书写标准：先刻画对象与条件，再推导，最后反查。

条件与模型

在单位正方形0<x<1,0<y<1上令f(x,y)=c(x+y)。先归一化，再积分求边缘；不能因区域为矩形就直接判独立。

推导主线

∫∫(x+y)dxdy=1，故c=1。P(X<1/2,Y<1/2)=∫₀^{1/2}∫₀^{1/2}(x+y)dydx=1/8。E(X)=∫∫x(x+y)dxdy=1/3+1/4=7/12。

推导时不得省略导致区域、收敛性、秩、独立性或显著性结论发生变化的步骤。选择定理后，要明确它的适用前提。

随课计算

求P(X<1/2,Y<1/2)。

严格边界

• 正确检查：判断独立必须核对联合密度是否几乎处处等于边缘密度乘积。
• 常见错误：联合密度的支持集是矩形即可推出X与Y独立。

卷面要求

解答题采用“依据—计算—结论—验算”四段式。即使在线判题只提交最终数值，草稿与正式作答仍必须保留过程；多选题漏选、多选均判错。