蒙特卡洛：让随机替我们计算

算不出，就试出来。有些问题理论上难以下手，但计算机可以模拟成千上万次，用频率逼近答案——这套「用随机模拟做计算」的方法叫蒙特卡洛，名字来自那座著名的赌城。

用随机点算圆周率。在边长 2 的正方形里随机撒点，里面内切一个半径 1 的圆。点落在圆内的概率 = 圆面积 ÷ 正方形面积 = $\frac{\pi }{4}$。撒 100 万个点，约有 78.5 万个落在圆内，于是 $\pi \approx 4\times 0.785=3.14$——撒点越多，估得越准，背后正是第一章的大数定律在撑腰。

它解决什么真问题：模拟一个投资组合未来一年的盈亏分布、估算工程项目的延期风险、评估围棋一步棋的胜率（AlphaGo 的搜索里就有蒙特卡洛）——凡是「输入有随机性、答案算不出解析式」的场景，它都能上场。

一次完整的流程：建立模型（明确随机从哪里来）→ 让计算机重复抽样成千上万次 → 统计结果、算平均或比例 → 给出带误差的答案。和做真实实验不同的是，样本想要多少就有多少，代价只是电费。

常见误区：模拟次数太少就下结论。撒 100 个点估 π，可能得到 2.9 也可能得到 3.3，噪声巨大。蒙特卡洛的误差大约按 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 缩小——精度想提高 10 倍，模拟次数得加 100 倍，算力就是这么花出去的。

练一练：不用任何公式，设计一个「撒米估 π」的家庭实验。（提示：纸上画正方形和内切圆，随机撒一把米，数圆内圆外各几粒）