全概率公式：分情况讨论的艺术

复杂问题，先拆成几种情况。第一章学的贝叶斯是「看到证据后回头更新」；它还有个搭档叫全概率公式，解决正方向的问题：结果由几条不同路径导致，总概率 = 各路径概率之和。

一个例子讲透。某工厂两台机器生产同一种零件：甲机产量占 60%，次品率 1%；乙机产量占 40%，次品率 2%。随机拿一个零件，是次品的概率多大？分两条路：走甲机且是次品 $0.6\times 0.01=0.006$，走乙机且是次品 $0.4\times 0.02=0.008$，加起来 $0.014$，即 1.4%。

写成公式（配白话）：$P(B)={\sum }_{i}P(B|A_i)P(A_i)$——把每种情况「发生的概率 × 该情况下 B 的概率」全部加起来。关键是情况要穷尽且不重叠：零件要么甲产要么乙产，没有第三种，也不存在两台合产。

它是贝叶斯的地基。第一章疾病筛查里，分母「阳性的总概率」就是这么算的：真患者检出的，加健康者误报的。先用全概率正着算，贝叶斯才能反着推——一个管「由因推果」，一个管「由果溯因」，两者合用就是完整的证据推理链。

常见误区：分情况时漏了情形或重复计算。检查标准有两条：所有情况的概率加起来必须等于 1；任意两种情况不能同时发生。不满足就说明情况分错了。

练一练：你上学坐公交的概率是 70%（此时迟到率 10%），骑车的概率是 30%（迟到率 5%）。今天迟到的概率是多少？