几何概型：当结果数不完

结果无限多时，数数失效了。在 0 到 1 之间随机取一个实数，可能的结果有无穷多个——「想要的结果数 ÷ 总结果数」直接罢工。几何概型换了把尺子：用长度、面积、体积之比代替个数之比。

经典的约会问题。小明和小红约好 14:00 到 15:00 之间各自随机到达，先到的人等 15 分钟，等不到就走。两人能见面的概率多大？把两人到达时刻画成正方形里的点（边长 60 分钟），能见面要求两个时刻之差不超过 15 分钟——正方形里夹在对角线两侧的一条带子。算面积：带子 = $60^2-2\times \frac{1}{2}\times 45^2=1575$，总面积 3600，概率 $=\frac{1575}{3600}=\frac{7}{16}\approx 44\%$。

均匀是潜台词。几何概型默认「落在每处的可能性一样」，就像飞镖均匀扎在靶子上——面积大的区域自然更容易中。靶心面积占靶面的 1%，命中概率就是 1%，不用数任何个数。

真实例子：公交车每 10 分钟一班，你随机走到车站，平均等 5 分钟、最多等 10 分钟——等待时间在 0 到 10 之间均匀分布，等超过 8 分钟的概率是 $\frac{2}{10}$。一张排班表本身就是一道几何概型题。

常见误区：「随机取一点」必须说明怎么个随机法。同样问「圆内随机一条弦比半径长的概率」，选弦的方法不同答案就不同（著名的伯特兰悖论）——在无限的世界里，「随机」二字要讲清楚规则。

练一练：半径 10 厘米的圆靶上，半径 5 厘米的内圆是满分区。随机扎一镖（必中靶面），得满分的概率是多少？