正态分布深入：标准分与三个西格玛

第一章认识了钟形曲线，这节学会用它算数。正态分布由均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 决定，但每批数据的单位、尺度都不同——身高用厘米、考试用分数，怎么互相比较？答案是标准分（也叫 z 分数）。

标准分：一把通用尺子。算法一句话：（你的值 − 平均值）÷ 标准差。它回答「你比平均值高出几个标准差」。某次考试平均 70 分、标准差 10 分，你考 90 分，z = (90−70)÷10 = 2，即高出 2 个标准差。

68-95-99.7 经验法则：正态数据里，约 68% 落在平均值 ±1 个标准差内，约 95% 在 ±2 个内，约 99.7% 在 ±3 个内。所以 z = 2 意味着你超过了约 97.5% 的人（一半在均值以下，剩下 95% 的一半在你和均值之间）；z 达到 3，堪称千里挑一。

跨科目比较的妙用。数学考 85（班均 75、标准差 5，z=2）和语文考 90（班均 82、标准差 8，z=1），哪门更出色？卷面分语文高，标准分数学赢——在各自群体中的相对位置才是公平比较。大学录取看全省排名而不是卷面分，就是这个道理。

常见误区：把标准分套到非正态数据上。收入、播放量这类长尾分布里，「高出 3 个标准差」远不如正态中那么稀罕——先用第一章的方法确认分布形状，再上这把尺子。

练一练：某年级身高平均 165 厘米、标准差 6 厘米。身高 177 厘米的同学 z 分数是多少？大约超过百分之多少的人？