1随机与概率：不确定的数学
抛一枚硬币 20 次，记录正面次数，算算频率，和 1/2 差多少。
第 1 页 · 正面（题目）
2条件概率与独立性
从一副扑克牌抽两张（不放回），算一算两张都是红色的概率，再实际抽 20 次验证。
3随机变量与期望
设计一个抛硬币计分游戏（正面 +3 分，反面 -1 分），算出每局期望得分。
4方差：波动有多大
记录一周每天写作业的分钟数，算出平均值和标准差，看看自己的发挥稳不稳。
5常见分布：二项、正态、泊松
统计全家 20 位亲友的身高，看看是不是中间多、两头少（正态的样子）。
6大数定律与中心极限
抛硬币 50 次记录正面比例，再抛 200 次记录，比较哪个更接近 0.5。
7贝叶斯：用证据更新信念
和家长讨论：为什么体检报告里的「某项指标异常」，医生常说「先别慌，复查一下」？用贝叶斯解释。
8统计推断：从样本看世界
随机抽 20 位家人朋友统计「每天运动多久」，算平均值，并讨论这个样本哪里可能偏。
9机器学习里的概率
用手机语音助手连续问三次同一个问题，观察它给出的回答或置信表现，想想背后的概率。
第 1 页 · 背面（答案）
参考答案（家长）：理论值是 (26/52)×(25/51)≈24.5%；20 次实验里大约出现 4–6 次属正常波动。
参考答案（家长）：20 次里正面约 7–13 次都正常；次数太少，频率未必贴近 1/2——这正是下一讲大数定律要解决的。
参考答案（家长）：例如 30、45、35、50、40，平均 40，偏差平方和除以 5 得方差 50，标准差约 7 分钟——波动不大算稳定。
参考答案（家长）：E = 3×0.5 + (−1)×0.5 = 1 分；长期玩平均每局得 1 分，100 局约 100 分。
参考答案（家长）：通常 200 次的更贴近 0.5，但单次实验可能例外——多做几组，趋势就明显了，这正是大数定律。
参考答案（家长）：样本太小且男女混合，可能看到两个峰——男性女性各自的身高都是正态，混合后是双峰分布，这本身就很说明问题。
参考答案（家长）：家人朋友圈子相似（地域、年龄、习惯接近），不是随机样本——结论只能代表「我们家这个圈子」。
参考答案（家长）：罕见情况的先验低，单次异常的证据会被误报稀释；复查相当于拿到第二份独立证据，后验概率才会可靠地上升或下降。
参考答案（家长）：语音识别本质是把声波映射成概率最高的文字序列，不同发音清晰度会改变各候选词的概率，所以同样的话可能得到不同结果。