导数的应用：单调性与最值

第一章知道导数是「瞬时变化率」和「切线斜率」，这一节让它干活。

用导数看涨跌：导数为正，函数在爬坡；导数为负，函数在下坡。以 $f(x)=x^3-3x$ 为例，$f^{\prime }(x)=3x^2-3$。解 $3x^2-3=0$ 得 $x=\pm 1$：在 $x=-1$ 左边导数为正（爬坡），右边变负（下坡）——所以 $x=-1$ 是山峰（极大值）；$x=1$ 处导数由负转正——山谷（极小值）。不求精确图像，只算导数的正负，就能画出函数的「走势草图」。

求最值的万能流程：想在一个区间上找最大最小值，只需比较三类候选：导数为 0 的点、导数不存在的点、区间的两个端点。谁大谁就是最大值——不用画完整图像。

真实例子：用 60 米篱笆靠墙围一块矩形菜园，怎么围面积最大？设宽为 $x$，面积 $S=x(60-2x)$，求导 $S^{\prime }=60-4x$，令其为 0 得 $x=15$——宽 15 米、长 30 米，最大面积 450 平方米。同样的材料，最优方案比随手围能多收不少菜。商家定价、工厂排产、快递装箱，都是同一个数学动作。

常见误区：别忘了检查端点！函数的最值常常出现在区间的边界上，只找「导数为 0」的点会漏掉答案——考试丢分重灾区。

练一练：求 $f(x)=x^2-4x+3$ 在区间 $[0,3]$ 上的最小值和最大值（先求导找候选点，再算上端点）。