数列进阶：递推与求和

第一章认识了等差和等比，这一节学两件新武器：递推和错位相减。

递推：用前一项定义后一项。等差数列可以写成 $a_{n+1}=a_n+d$，白话：知道今天，加上公差就知道明天。这种「一步步推」的定义方式叫递推，它正是计算机最擅长的思考方式——循环。第一章的斐波那契数列 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ 就是最出名的递推：前两项定下来，整串数列就被锁定了。

等比数列求和：错位相减的智慧。存一笔「每天翻倍」的钱：$S=1+2+4+\cdots +2^{10}$。技巧是把整式乘 2：$2S=2+4+\cdots +2^{11}$，两式相减，中间项全部抵消，只剩 $S=2^{11}-1=2047$。白话：乘个公比再相减，长长的和就「塌方」成两项。于是有公式 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

真实例子：棋盘放麦子的传说——宰相向国王要赏：第 1 格 1 粒，每格翻倍，64 格共 $2^{64}-1$ 粒，约 1800 亿亿粒，相当于全球数百年的小麦产量。国王根本付不起——这就是等比求和给指数增长算的账。

递推的现实版：房贷月供就是递推数列——每月剩余本金 = 上月本金 ×(1+月利率) − 月供。银行的还款表，是一行行递推算出来的。

常见误区：等比求和公式在公比 $q=1$ 时分母为 0，不能用！公比为 1 时就是同一个数加 n 次，$S_n=n{a}_1$。

练一练：用错位相减算 $1+3+9+27+81+243$（公比是 3）。