圆锥曲线：椭圆双曲线抛物线

第一章用「切圆锥」认识了这三兄弟，这一节看它们的定义和本事。三者的统一定义都和「距离」有关：

• 椭圆：到两个定点（焦点）的距离之和恒定的点。画法：把一根绳两端钉在纸上两点，用笔把绳绷紧画一圈——就是椭圆。地球绕太阳的轨道是椭圆，太阳在一个焦点上。
• 双曲线：到两焦点距离之差恒定的点。两支曲线背对背张开。利用信号到达两个基站的时间差（距离差）定位手机，数学上就是画双曲线求交点。
• 抛物线：到一个焦点和一条定直线距离相等的点。斜抛的篮球、喷泉的水柱都是抛物线。

光学性质的神奇：椭圆从一个焦点发出的光，反射后必过另一个焦点——「回声长廊」里两人在特定位置能听清对方的悄悄话，就因为站在两个焦点上；抛物线把平行光聚到焦点（卫星锅、太阳灶），反过来焦点处的光源射出平行光（手电筒、汽车大灯）。同一条曲线，正用反用都是宝。

离心率：曲线的「胖瘦指数」。$e=\frac{c}{a}$，白话：焦点离中心多远（$c$）对比曲线半径（$a$）。$e=0$ 是正圆；越接近 1 椭圆越扁；$e=1$ 是抛物线；大于 1 是双曲线。彗星轨道离心率接近 1，所以拖成长长的一条。

常见误区：椭圆的两个焦点都在曲线上吗？不！焦点在椭圆内部，周界上的点到两焦点距离之和才是常数。

练一练：用两枚图钉和一根 20 厘米的棉线，在纸板上画一个椭圆；改变两钉距离，观察椭圆胖瘦变化。