向量进阶：数量积与垂直

第一章学了向量加法和坐标，这一节深入「点积」这把瑞士军刀。回顾定义：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$。用坐标算更简单：$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=x_1{x}_2+y_1{y}_2$——对应坐标相乘再相加。两种算法结果一样，一个是「几何长相」，一个是「代数算法」。

点积的三大用途：

• 判垂直：点积为 0 ⟺ 两向量垂直。因为 $\cos 90^{\circ }=0$。验证 $(3,4)$ 和 $(4,-3)$：$3\times 4+4\times (-3)=0$——果然垂直！几何证明里「证明垂直」从此变成「算个乘法」。
• 算夹角：由 $\cos \theta =\frac{a\cdot b}{|a||b|}$，两个方向差多少度一算便知。
• 算投影：一个力在某个方向上「出了多少力」（第一章拉行李箱的例子），数值就是点积。

真实例子：3D 游戏里判断「怪物是否看见玩家」，就是算怪物视线方向与指向玩家的向量的点积——点积为正说明在视野前方；推荐系统把每首歌、每个用户都表示成高维向量，「相似度」就是高维点积，点积越大越对口味。

常见误区：点积的结果是一个数，不是向量！$(1,2)\cdot (3,4)=11$，没有方向。看到 $a\cdot b=c$ 的写法一定是错的。

练一练：算 $(2,5)$ 与 $(5,-2)$ 的点积，判断它们是否垂直，并在方格纸上画图验证。