指数对数运算：换底的威力 · 高中数学

第一章认识了指数和对数，这一节学「算」。对数有三条运算律，白话记住就行：

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ——乘变加（翻的倍数可以一段一段数）。
$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$ ——除变减。
$lo g_{a} M^{n} = n lo g_{a} M$ ——乘方变乘法。

为什么乘能变加： $2^{3} \times 2^{4} = 2^{3 + 4} = 2^{7}$ ——同底的幂相乘，指数相加。对数正是「指数」，所以它天然把乘法翻译成加法。在没有计算器的年代，天文学家靠对数表把几万位的大数乘法变成查表加法，计算速度提升百倍——有人说对数「延长了天文学家的寿命」。

换底公式：任何计算器都能算任何对数。 $lo g_{a} b = \frac{l o g _{c} b}{l o g _{c} a}$ ，白话：不会算以 2 为底的对数？换成你会的底（比如 10）来算。比如 $lo g_{2} 10 = \frac{l g 10}{l g 2} = \frac{1}{0.301} \approx 3.32$ ——意思是 2 翻 3.32 次倍约等于 10。

真实例子：想算「1 万元按年利率 5% 复利，几年变 2 万」，就是解 $1.0 5^{n} = 2$ ，两边取对数得 $n = \frac{l g 2}{l g 1.05} \approx 14.2$ 年。

常见误区： $lo g_{a} M^{n}$ 是 $n lo g_{a} M$ ，但 $(lo g_{a} M)^{n}$ 是「整个对数的 n 次方」，两者完全不同——括号位置决定命运。

练一练：用换底公式和 $l g 2 \approx 0.301$ 、 $l g 3 \approx 0.477$ 估算 $lo g_{2} 3$ 。