计算力学：时间步长、守恒与混沌

数值积分把连续运动切成离散时间步。算法误差会累积，混沌系统又会放大初值与舍入差异。可靠模拟不能只看动画合理，而要检查收敛、守恒和统计量。

欧拉与高阶方法

显式欧拉简单但精度低、稳定区小；Runge–Kutta能提高局部精度，却不自动长期守恒。哈密顿系统常使用辛方法保护相空间结构。

步长收敛

把时间步减半，比较关键观测量。若结果不稳定，当前网格不足；只展示一条轨迹无法判断离散误差。事件碰撞还需专门定位，避免一步跨过接触。

守恒诊断

无外力保守系统监测能量、动量和角动量。数值量小幅有界振荡与单向漂移含义不同；容差要结合尺度和模拟时长。

混沌与可预测性

双摆等系统轨迹长期分离不一定是算法错误。先做短期收敛，再报告Lyapunov时间或统计分布，不能声称精确长期轨迹。

可复现

保存方程、参数、初值、单位、算法、步长和代码版本。随机扰动需记录种子，并对多个初值做集合统计。

碰撞和摩擦等非光滑事件会降低高阶方法的实际阶数，应分段积分并定位事件时间。性能比较同时报告误差与计算成本。

练习：模拟单摆与双摆，做步长收敛和能量误差图，区分数值误差与混沌敏感。