中心力与有效势：把轨道化为一维问题

在只依赖距离的中心力下，力矩为零，角动量守恒，运动限制在一个平面。利用角动量可把径向运动写成含有效势的一维问题，直观看出圆轨道、束缚区和转向点。

有效势

真实势能外还出现 L²/(2mr²) 离心势垒。它不是新相互作用，而是固定角动量后角向动能对径向运动的贡献。r趋零时势垒可阻止接近中心。

圆轨道条件

有效势驻点给圆轨道；二阶导为正表示径向小扰动稳定，为负则不稳定。存在圆轨道不等于它能长期保持。

能量决定允许区域

径向动能非负，因此总能量高于有效势的区域才可到达。与曲线交点是近日点、远日点等转向点。

开普勒问题

反平方引力势产生圆锥曲线轨道，负能为椭圆，零能抛物线，正能双曲线。分类假设理想二体，不含阻力和多体摄动。

数值轨道

普通欧拉法长期会漂移能量，让本应闭合轨道螺旋。辛积分更好保留哈密顿结构；验证时监测能量和角动量误差。

若存在碰撞、推力或耗散，守恒量会按已知方式改变。数值检查应比较“应有变化”而非机械要求常数，并在近日点加密步长验证快速运动。

练习：画引力有效势，标稳定圆轨道和不同能量转向点，再比较两种数值积分的守恒误差。