数值方法与工具：计算器也需要被检查

许多方程没有方便的代数闭式解，可以用二分、迭代、图像或软件求近似值。工具扩大计算能力，却不会自动保证模型、输入、精度和解释正确。每个数值结果都应有范围与验证。

二分法

若连续函数在区间两端异号，区间内至少有一个零点。取中点，根据符号保留仍异号的一半，反复缩小区间。它稳定但可能慢，并且只凭异号不能保证区间内恰有一个根。

停止条件

可规定区间宽度小于某阈值，或函数值足够接近0。小数位应与问题精度一致。机器显示十位小数不代表数据和模型支持十位。

图像求交

方程 f(x)=g(x) 可看成两图交点。图像适合找根的数量和初始区间，但窗口选择会漏掉远处或极近的根；最后要代回或用其他方法验证。

迭代可能不收敛

把方程改写成 x=g(x) 后反复代入，可能收敛、振荡或发散，取决于函数和初值。不能把运行次数多当作正确证据。

保留可复现过程

记录公式、初始区间、容差、软件版本或关键设置。用估算和单位检查输出，再将近似根代回原问题。

若两种方法不一致，不要任选一个。先提高绘图分辨率、缩小区间并检查输入括号，再判断是算法条件不满足还是实现错误。

练习：用二分法求 x³-x-1=0 的近似根，列每轮区间，并与图像工具结果交叉验证。