导数再理解：局部线性与变化率

导数既是函数图像在一点的切线斜率，也是因变量相对自变量的瞬时变化率。它的单位由两轴决定：位置对时间的导数是速度，成本对产量的导数是边际成本。只会套求导公式而不读单位，会错过核心意义。

差商到导数

从 x 到 x+h 的平均变化率是 [f(x+h)-f(x)]/h。让 h 趋近0，若极限存在，就得到导数。h不能直接先取0，因为那会造成除零；极限描述的是越来越短区间的趋势。

局部线性

在足够小范围内，光滑曲线可近似为切线：f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx。这解释了导数为何能做误差估计和快速近似，也提醒范围太大时近似会失真。

导数符号

导数正表示局部递增，负表示局部递减，零表示水平切线。但导数为零不必然是极值，例如 y=x³ 在0处仍单调增加。还要检查符号怎样跨点变化。

不可导位置

尖角、断点或竖直切线处可能不存在有限导数。图像工具会把点连得很平滑，需放大并结合定义判断。

变化率的语境

导数大表示对输入变化敏感，但“大”必须结合单位和尺度。换单位后数值改变，物理现象没有改变。

练习：从位置函数的表格估计某时刻速度，比较前向、后向和中心差分，并讨论时间间隔的影响。