分段函数与参数：规则会随条件改变

现实关系常不是一条公式从头用到尾。出租车计费、阶梯电价和税率会在不同区间采用不同规则，适合用分段函数表示。每一段都要同时写公式和适用条件，边界归属不能模糊。

边界处检查什么

若左段定义 x≤3，右段定义 x>3，全部输入恰好覆盖且不重叠。把 x=3 分别代入相邻公式，可判断函数值是否连续衔接；即使不连续，函数仍可合法，只需符合情境。

绝对值也是分段

|x-a| 表示 x 到 a 的距离，可按 x≥a 与 x<a 分段。解绝对值方程和不等式时，从距离解释或分类定义出发，比机械“去绝对值”更稳。

参数控制函数家族

y=a(x-h)²+k 中 a、h、k 不是同一题的普通未知量，而是控制开口、水平位置和垂直位置的参数。研究参数范围，就是研究一族函数何时满足零点数、单调性或相交条件。

分类必须由临界值驱动

参数题先找结构改变的位置：分母为零、判别式为零、边界点重合或系数变号。按这些临界值分区，避免凭感觉列出杂乱情况。

图像帮助但不能替代证明

动态软件可拖动参数发现猜想，再用代数推导临界条件。屏幕分辨率可能看不出极近交点，最终结论要有符号依据。

练习：建立一份阶梯收费函数，检查每个断点，再研究某月总费不超过预算时的用量范围。