数学归纳法：从一阶到任意阶

验证 n=1、2、3 不足以证明公式对所有正整数成立。数学归纳法建立一条逻辑链：先证明第一块多米诺骨牌会倒，再证明任意第 k 块倒下都能推动第 k+1 块，于是所有骨牌依次倒下。

基础步骤

把起始值代入命题，确认成立。起点不一定总是1，若命题从 n=4 开始，基础步骤就应验证4。漏掉起点，递推链没有启动。

归纳假设

假设 n=k 时命题成立，并明确 k 在允许范围。这个假设是推导 k+1 的桥梁，不是把要证结论循环当已知。推导中必须实际用到它。

归纳递推

证明求和公式时，把前 k+1 项写成“前 k 项之和+新增一项”，再代入归纳假设并整理成目标形式。先写 k+1 情况的目标长什么样，能防止变形迷路。

常见误区

只证明 P(k) 与 P(k+1) 都“看起来相似”不够；从 P(k+1) 反推 P(k) 也未建立前向递推。若只能证明 P(k)→P(k+2)，还需验证两个起点覆盖奇偶链。

递推定义与算法

数列递推式、循环程序与归纳证明天然相连：初始化对应基础步骤，循环不变式对应归纳假设，迭代对应递推。

练习：用归纳法证明前 n 个奇数之和为 n²，并用几何方块图解释递推步骤。