极限直觉：无限接近怎样变成数学

导数与积分都建立在极限上。“x 接近 a”不是说 x 必须等于 a，而是考察输入任意靠近时输出的趋势。函数在 a 处甚至可以没有定义，极限仍可能存在，因为极限关注附近行为。

表格、图像与代数三种证据

从左右两侧取越来越接近 a 的值做表格，图像观察趋势，再通过因式分解或有理化化简表达式。数值只能提供迹象，代数分析帮助说明为何趋势成立。

左极限与右极限

分段函数在断点两侧可能趋向不同值。只有左右极限都存在且相等，两侧极限才存在。函数在点上的值是否等于极限，是连续性进一步要求。

无穷不是可代入的普通数

说 x→∞ 表示 x 无界增大，不是把一个名叫∞的数代入。1/x→0 也不表示在某个有限 x 后它等于0，而是能小到超过任何预先指定的正阈值。

0/0 是未定式

直接代入得到0/0不代表极限为0或不存在，只说明当前形式不能判断。化简时要保持在 x≠a 的邻域内等价；极限不要求在点上等价。

从平均变化到瞬时变化

割线斜率取越来越短时间间隔，其极限给瞬时变化率。这个过程把“速度表此刻读数”连接到数学定义。

练习：用表、图和因式分解研究 (x²-1)/(x-1) 在 x→1 时的极限，并解释为何原函数在1处未定义仍有极限。