积分直觉：累积量与带符号面积

如果导数描述瞬时变化，积分则把许多微小变化累积起来。速度—时间图下的带符号面积给位移，流量随时间的积分给总体积。积分不是所有图像下面积的万能名称，必须明确横纵轴和乘积单位。

从矩形近似开始

把时间区间分成小段，用每段速度乘时间宽度，得到近似位移，再相加。分段越细，在函数足够规则时近似通常越好。左端、右端和中点取值会产生不同误差。

带符号面积

速度为负的区段对位移贡献为负；若求路程，则要累积速度绝对值。位移可能为0而路程很大，问题用词决定积分对象。

定积分与原函数

微积分基本定理把“累积”和“变化率的逆过程”连接起来：若 F'=f，则 f 在区间上的定积分可由 F 的端点差求得。公式背后是局部变化累积成总体变化。

单位检查

米/秒乘秒得到米；功率瓦乘秒得到焦耳。若积分后单位不符合所求量，应检查坐标或模型。

数值积分

真实传感数据只有离散点，可用矩形或梯形近似累积。报告采样间隔和方法，因为快速变化可能在稀疏采样间被漏掉。

还要比较分割变细后结果是否稳定。如果步长减半，估计值仍大幅变化，说明采样不足或函数变化过快，不能急着把当前小数当答案。

练习：根据一段分段速度—时间图分别求位移与路程，再用梯形法估算离散功率数据的耗能。