从猜想到证明：为什么例子不够

观察几个例子可以产生猜想，却不能证明一个对所有对象都成立的命题。例如连续三个整数之和，试算 2+3+4=9、5+6+7=18，似乎总是3的倍数。真正的证明要解释为什么任何连续三整数都如此。

用字母抓住共同结构

设中间整数为 n，三个数就是 n-1、n、n+1，和为 3n，因此是3的倍数。字母不是把具体数字藏起来，而是一次代表所有允许情况。选择中间数作变量，还让结构自动对称。

命题的条件与结论

“若一个整数是6的倍数，则它是3的倍数”中，前半是条件，后半是结论。证明必须从条件出发。反过来的话并不自动成立：9是3的倍数却不是6的倍数。

反例的力量

要推翻“所有偶数都是合数”，只需找到2这一个反例。反例必须满足条件却不满足结论。找一个支持例子只能增加信心，找一个反例却足以否定全称命题。

分类不能漏情况

证明整数平方除以4余0或1，可把整数分为偶数2k与奇数2k+1，分别平方。奇偶两类互斥且覆盖所有整数，因此证明完整。

写出理由链

每一步旁写依据：定义、已知、代数变形或已证结论。避免“显然”跳过关键处。别人能从条件沿理由走到结论，才叫证明。

练习：猜想任意两个连续奇数之和有什么整除性质，先列例子，再用字母证明，并写出命题的逆命题是否成立。