数值微积分：计算机怎么做逼近

计算机不会「求导」，只会算数

再强的计算机，骨子里也只会加减乘除。那它怎么做微积分？答案是回到定义本身：用足够小的步长逼近。这一讲看工程师手里的三板斧。

数值导数：差商

导数是「窗口缩到无穷小的平均变化率」。计算机就让窗口很小而不为零：第 5 秒的位置减第 4.9 秒的位置，除以 0.1 秒，就是瞬时速度的近似。步长越小越准——但小过头，浮点舍入误差反而捣乱。工程就是在这种两头为难里找平衡。

数值积分：梯形法

曲线下面积怎么算？切成细条，每条不当长方形而当梯形——顶边斜着连，更贴曲线——面积全加起来。上百个梯形算圆的面积，误差常常不到千分之一。手机计步器把加速度积成速度、再积成距离，用的正是这类算法。

欧拉方法：一步一步预测未来

微分方程解不出来？那就模拟：知道此刻的位置和速度，往前迈一小步得到新位置，再迈一步……天气预报就是这么做的：把大气切成网格，每隔几分钟推演一步。步长越密越准，代价是算得越慢——这就是超算中心存在的意义。

常见误区

数值解是近似解，误差会积累。天气预报一周之后不准，不是科学家偷懒，而是混沌系统里小误差被指数放大（「蝴蝶效应」）。

练一练：用「差商」做一次实验：电梯运行中隔 1 秒记两次楼层，估算它的速度。