极值与最优化：什么时候最好

山顶的特征

爬上山顶那一刻，你既不往上也不往下——脚下斜率为零。函数取到最大值的地方也一样：导数为零。费马在三百多年前就指出：想找「最好」，先找「变化率为零」的地方。

围篱笆的经典问题

用 40 米篱笆围长方形菜园，怎样面积最大？设长为 x，宽就是 20−x，面积 = x(20−x)。求导并令其为零，得 x=10——正方形 100 平方米最大。周长固定的长方形里正方形最能装，这也是自然界偏爱对称的原因之一。

商业里的最优化

奶茶店定价：太便宜不赚钱，太贵没人买。利润 = （单价 − 成本） × 销量，而销量随价格下降。把价格拧到「利润导数为零」的位置，就是最贵又卖得动的甜点价。快递路线、广告投放、工厂排产，现代商业的每个角落都在做「求导找零点」。

常见误区

导数为零不一定是最大——也可能是最小值，甚至是不上不下的拐点。要检查两侧的走势；边界也不能漏：菜园围成 19×1 的细长条，面积反而很小。

练一练：用 12 根同样长的小棒围长方形（边长取整数），列出所有围法，验证哪种面积最大。