微分方程：给「变化」立规矩

从「是多少」到「怎么变」

前面问的总是「这个量是多少」。可大自然给的线索往往是「它怎么变」：细菌繁殖速度与数量成正比，热水降温速度与温差成正比。把「变化率与现状的关系」写成等式，就是微分方程——现代科学的第一语言。

指数增长：越多长得越快

「增长速度和数量成正比」，记作 $\frac{dy}{dt}=ky$，解是指数函数：数量按固定周期翻番。复利就是这样——年利率 5%，约 14 年翻一番，有个好用的口算规则「72 法则」：72 ÷ 5 ≈ 14.4。细菌培养、病毒传播早期，都踩着同一条指数曲线。

牛顿冷却：温差消失的过程

一杯 90°C 的茶放在 20°C 的房间里，降温速度和温差成正比，所以它先快后慢，温度沿指数曲线滑向室温——永远接近，理论上永远差一点（又是极限！）。法医正是用这条定律，由物体温度回推时间。

常见误区

指数增长不能无限外推。培养皿里的细菌迟早撞上营养上限，增速放缓，曲线拐成 S 形（叫逻辑斯蒂曲线）。模型都有适用边界，预测未来前先问：假设还能撑多久？

练一练：用「72 法则」算算：压岁钱存年利率 3% 的账户，大约多少年翻倍？