无穷级数：无限个数也能相加吗

芝诺的乌龟与收敛

第一讲「吃饼」其实已经偷偷加了无穷个数：1/2+1/4+1/8+…… 无限项加起来竟然等于 1，是有限的！这种「越加越接近一个定数」的级数叫收敛。等比级数（每项是前一项的固定倍数）只要倍数小于 1 必然收敛，还能算出精确的和：首项 ÷ (1 − 倍数）。

但别高兴太早：调和级数

每项越来越小就一定收敛吗？看 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$。项确实趋于零，和却慢慢涨过任何数——发散！它要加到天文数字项才超过 100，可数学不问耐心，只问「最终有没有上限」。
它有个物理版本：把一样的砖块依次错开叠放，最上面一块可以探出桌面任意远——只要砖够多，悬空理论上能伸到无限长，靠的正是调和级数的发散。

收不收敛，是大学问

上一章的泰勒级数什么时候管用？就是在问它「收不收敛、往哪收敛」。交流电分析、信号传输、概率论里的期望值，动手前都要先回答这一个问题。

常见误区

「项趋于零」只是收敛的入场券，不是保证书。调和级数就是最著名的反例。

练一练：用计算器逐项累加 1/2+1/4+1/8+……（加到第 10 项），观察和离 1 还有多远。