积分的两板斧：换元与分部

求导容易积分难

求导像拆机器：照着规矩拆，总能拆完。积分像装回去：常常要试、要猜、要技巧。三百年里数学家攒下一本「装机手册」，最常用的两招是换元法和分部积分。

换元：换个角度看

面对 ∫2x·cos(x²)dx 这样的怪物，秘诀是发现 2x 正是 x² 的导数——把 x² 整体叫作 u，式子立刻变成 cos u，积分得 sin u，再换回 x，答案是 sin(x²)。白话：认出「内心和它的导数同时出现」，就能化繁为简。这其实是链式法则倒着用。

分部：乘法法则倒着用

第二讲讲过乘积求导要「轮流来」。把这个公式倒过来写，就是分部积分：两个函数相乘不好积？把一个先积、另一个求导，交叉换位，常常就能化开。它和换元法互为补充，一攻嵌套、一攻乘积。

常见误区

换元之后，积分的上下限也必须跟着换。用新变量算到底却套了旧范围，是最常见的失分点——就像汇率换了、标价却忘了换。

练一练：找身边「换元」的例子：曹冲称象把大象换成石头，是不是一种「先换元、算完再换回」？