连续与间断：曲线会「断」吗

断不断，差别很大

第一讲学极限时我们悄悄用了一个前提：函数画出来是一条连贯的线。现在把它挑明：图像能一笔画完不抬笔的函数叫连续。气温、身高、水位都是连续的——它们不会「瞬移」。反过来，阶梯电价在临界点「跳」一下、电梯楼层显示一层层蹦，这些都是间断。

一个接地气的定理

连续函数有个极其实用的性质：介值定理——从 15°C 升到 25°C，必然经过 20°C，不会跳过。数学上说：连续函数 $f$ 若从负变正，中间必有一点等于零。白话：温度计不会从冷直接蹦到热。

它还能帮你解方程：试一个值算出来为正，再试一个为负，解就夹在中间；把区间对半再对半，就能逼近到任意精度。这就是「二分法」，计算机解方程的看家本领之一。

常见误区

「接近」不等于「连续」。台阶函数在跳变点左右都有极限，但两者不相等，照样断开。连续要求三者齐全：左极限 = 右极限 = 函数值。

练一练：观察家里水表或电表读数的变化，说说它是连续的还是跳跃的，为什么。