求导法则：像拼装一样求导

背公式不如学拼装

复杂的函数都是简单函数拼出来的：相加、相乘、嵌套。求导也一样——掌握几条拼装法则，再复杂的函数也能一层层拆开求导。

乘法法则和链式法则

两条最常用：乘积的导数不是「导数直接相乘」，而是「你不动我动、轮流来」再相加；函数套函数时用链式法则：外壳求导 × 内心求导，记作 $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dr}\cdot \frac{dr}{dt}$。白话：A 影响 B,B 影响 C，那 A 对 C 的影响就是两段「放大倍数」相乘。

吹气球的例子

气球半径以每秒 1 厘米变大，体积长多快？体积对半径的导数恰好是表面积 $4\pi r^2$，再乘上半径的增长速度。r=5 时：4π×25×1 ≈ 314 立方厘米每秒。外壳乘内心，一条链算到底。医生估算肿瘤生长、工程师算油箱加油速度，用的都是这条链。

常见误区

把乘积的导数当成「导数相乘」是初学者最常犯的错。想想长方形面积：长和宽都在涨，面积增量要算两条边的贡献，只算一条一定偏小。

练一练：用链式法则说一件事：「每公里耗的力气 × 骑车速度」能算出「每小时耗的力气」——中间的「公里」去哪儿了？